Erro Padrão

O Teorema Central do Limite afirma que, para uma amostra grande o suficiente, a distribuição da média amostral tende a ser aproximadamente normal.

O erro padrão nos fornece a ideia de quão distante, em média, nossa estimativa a partir da amostra está da verdadeira média populacional.

Considerando uma variável aleatória $X$, temos que sua variância é dada pela fórmula:

$$VAR(X) = E([X - E(X)]^2)$$

Para a variância de $X$ atribuindo-se uma constante $a$ multiplicando o valor daquela:

$$VAR(aX) = E([aX - E(aX)]^2)$$ $$VAR(aX) = E([aX - aE(X)]^2)$$ $$VAR(aX) = E([a(X - E(X))]^2)$$ $$VAR(aX) = E(a^2(X - E(X))^2)$$ $$VAR(aX) = a^2 E(X - E(X))^2$$ $$\therefore VAR(aX) = a^2 VAR(X)$$

A variância da média amostral pode ser dada por:

$$VAR(\overline{X}) = VAR\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3 + \ldots + X_n}{n}\right)$$ $$VAR(\overline{X}) = VAR\left(\frac{1}{n} [X_1 + X_2 + X_3 + \ldots + X_n]\right)$$

Utilizando a propriedade desenvolvida anteriormente, temos que:

$$VAR(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} VAR(X_1 + X_2 + X_3 + \ldots + X_n)$$ $$VAR(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} [nS^2]$$ $$VAR(\overline{X}) = \frac{S^2}{n}$$ $$\therefore SD(\overline{X}) = \frac{S}{\sqrt{n}}$$

De tal modo, obtemos a fórmula do erro padrão, instrumento de suma importância para o cálculo do intervalo de confiança (como pode ser observado abaixo, com a definição do valor $z$ para o nível de confiança desejado e seu produto com o erro padrão, temos o que se chama comumente de margem de erro):

$$IC = \overline{X} \pm z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

No caso do desvio padrão da população ser desconhecido, utilizamos o valor $t$ de Student e o desvio padrão amostral:

$$IC = \overline{X} \pm t \frac{S}{\sqrt{n}}$$ $$IC = \overline{X} \pm \text{margem de erro}$$

O intervalo de confiança é uma estimativa de intervalo que é construída com base na média amostral e na margem de erro para inferir sobre a média populacional com um determinado nível de confiança.